0<X<Y<1 比较X的Y次与Y的X次的大小

0<X<Y<1 ,则有1<1/y<1/x,
比较X的Y次与Y的X次的大小,则用
(x^y)/(y^x)
=10^[ln[(x^y)/(y^x)]]
=10^[ln(x^y)-ln(y^x)]
=10^[y*lnx-x*lny]
=10^[x*ln1/y-y*ln1/x]
因为1<1/y<1/x,
所以ln1/y<ln1/x
又因为x<y ,
所以[x*ln1/y-y*ln1/x]<0
因此10^[x*ln1/y-y*ln1/x]<1
即(x^y)/(y^x)<1
所以(x^y)小于(y^x)

都取lg,lg(X的Y次方）/lg(Y的X次方），等于（Y/X）乘以（logY的X次方），因为0＜X＜Y＜1，所以Y/X＞1，logY的X次方大于logY的Y次方（因为0＜Y＜1，所以单调递减），即logY的X次方＞1，所以（Y/X)乘以（logY的X次方）大于一，所以lg（X的Y次方）＞lg（Y的X次方）,因为lg是单调递增的 ，所以X的Y次方＞Y的X次方